Grupo de Matemáticas Escuela Pedagógica Experimental EPE
Janeth Malagón, Germán Rayo, Fabio Omar Arcos, Orlando Torres, Natalia Guzmán, Mónica Alarcón, Dino Segura
RESUMEN
Presentación sintética del actual problema de investigación del grupo de matemáticas de la EPE, a propósito de los elementos que emergen en el camino de resolver situaciones en contextos matemáticos, que por su planteamiento son irresolubles. Además de la premisa de que en la búsqueda de soluciones, los estudiantes realizan construcciones disciplinarias, resaltamos como características del trabajo de matemáticas en la EPE: la actividad por problemas centrada en el pensamiento matemático, la invención de regularidades y el trabajo colaborativo. Esta investigación se viene realizando con estudiantes de grados 6º a 11 de la Escuela Pedagógica Experimental.
INTRODUCCIÓN
La educación ha estado dominada en nuestros países por tendencias homogenizantes que se acentúan debido a la globalización y se concretan en términos de exigencias estandarizadas, unificación de currículos, textos y metodologías. Como consecuencia, se privilegian metas distantes de los contextos locales y se centran los fines de la educación en objetivos neutrales que no se articulan con el entorno.
A esta consideración se suma el que en la formación matemática no juegan ningún papel los elementos culturales, lo que prima es la visión de un aprendizaje para ser un diestro aplicador de algoritmos, en donde la innovación y la apertura disciplinaria son solo discursos. Una perspectiva cultural y epistemológica de la matemática y de su enseñanza la valoraría como útil para la vida cotidiana y no solamente como disciplina.
Las consideraciones culturales y experienciales pueden verse desde dos ángulos. Por una parte, teniendo en cuenta las circunstancias concretas en que esta inmersa la actividad científica donde las relaciones ciencia – sociedad son determinantes y, por otra, estudiando las implicaciones que resultan de mirar y asumir en todo momento una actitud irrigada por la mirada disciplinada del matemático.
De estos elementos surgen las políticas si la ciencia y las matemáticas en nuestros países poseen un desarrollo incipiente y no se conciben como una perspectiva de progreso, se considera que su aprendizaje es inútil. Como una consecuencia, en las políticas publicas la educación en general y la educación matemática en particular no son prioridades, es por ello que la investigación tampoco es prioritaria y la investigación en educación es prácticamente inexistente.
Los planteamientos siguientes son validos en principio para todos los niveles y para cada nivel de escolaridad se podrían plantear ejemplos puntuales. En todos los casos, sin embargo, lo que se haga esta íntimamente relacionado con los que se puede hacer y esto es un asunto que depende de la experiencia individual y colectiva (que es lo que le da sentido a los problemas que se plantean) y al desarrollo intelectual y afectivo (que es lo que determina tanto las posibilidades de búsqueda como las condiciones de apropiación). Un eje central en la exposición es el reconocimiento de la complejidad y diversidad del pensamiento de los niños. Así la clase de matemáticas debería ser vista como un entorno en que tal pensamiento se puede desarrollar y no como un obstáculo para tal proceso en cuanto en vez de inventar y crear, se dedican a repetir y memorizar.
LAS MATEMÁTICAS EN EL AULA
En el ámbito escolar las matemáticas revisten gran importancia, hasta tal punto que la calificación de ser o no inteligentes depende de las habilidades y destrezas en la clase de matemáticas. Es tan definitiva la frustración que puede generar matemática escolar, que para algunas personas las decisiones de optar por una carrera profesional están ligadas con la menor cantidad de contenido matemático que esta pueda tener.
Además, existe la creencia generalizada de que aprender matemáticas es apropiarse de una serie de algoritmos que sirven para resolver ejercicios típicos estipulados por el currículo. Así pues, las personas que pasan por las matemáticas de la escuela deben aprender los mismos algoritmos para resolver los mismos problemas: los contenidos son un libreto universal con poca cabida a la diferencia y la creatividad, más aún, con frecuencia reducen la disposición de querer saber matemáticas.
En la Escuela Pedagógica Experimental, la clase de matemáticas propicia un espacio de participación y construcción de conocimiento colectivas.
La dinámica de la clase de matemáticas se concreta en dos situaciones de investigación.
Por una parte, los estudiantes frente a un problema que se ha constituido en un reto para ellos y trabajando en pequeños grupos (de 4 o 5) intentan aproximaciones que se proponen a grupos más grandes (de 20 o 25). En este proceso son de importancia las discusiones que se convierten en la elaboración de conjeturas y la invención de pruebas y refutaciones. Las características más significativas de este proceso son: La construcción de elementos disciplinarios (matemáticos) en los procesos de elaboración de enunciados y propuestas.
El enunciado de propuestas diversas que corresponden a diferentes formas de pensamiento matemático.
Las construcciones son sociales a la vez que individuales ya que la validación de las elaboraciones es realizada por el colectivo.
La necesidad y uso de algoritmos cuando la situación lo requiere.
Por otra parte, los maestros investigan en cuanto observan intencionadamente lo que sucede en el aula para establecer las formas de pensamiento y las construcciones disciplinarias que se exteriorizan en los proceso de prueba y refutación de los planteamientos. Una muestra de ello, es nuestro proyecto de investigación reciente sobre el modelaje matemático[1] y los artículos Haciendo matemáticas en el aula[2] y Haciendo de matemáticos en el aula[3].
NUESTRAS BÚSQUEDAS
Como grupo de maestros que investiga, nuestras búsquedas se relacionan con el compromiso que tenemos frente al desarrollo del pensamiento matemático de los chicos, en cómo generar confianza y provocar protagonismo en el hacer. Estos elementos unidos a la creatividad, la argumentación, la identificación regularidades y el hacer un uso apropiado de la operatoria, orientan la construcción disciplinaria.
En este camino estamos apuntando hacía una hipótesis de investigación: Es la búsqueda de soluciones a problemas que son irresolubles un camino que propicia la construcción disciplinar en la clase de matemáticas.
Si bien parece contradictorio hablar de la resolución de problemas irresolubles, nos referimos a esta, como la acción de disponerse a resolver situaciones en contexto matemático, que inicialmente por su enunciado parecen tener respuesta, pero que por su planteamiento no se pueden solucionar.
Ejemplos de este tipo de situaciones pueden ser: La suma de tres números consecutivos es igual a 121. Halla los números
Construye un triángulo cuyos lados midan 3cm., 4 cm., y 9 cm.
Como vemos, estos problemas no tienen solución, pero sí pueden abordarse como problemas.
¿Cuando un problema es irresoluble?
Uno de nuestros primeros interrogantes fue identificar las características de lo que sería un problema irresoluble, pues existen diferentes situaciones imposibles de abordar ya sea porque se plantean cuando aun no se ha construido el objeto matemático (maduración cognitiva) o necesitan elementos con los que no se cuenta.
OBJETO MATEMÁTICO Y MADURACIÓN COGNITIVA: Cuando se proponen situaciones como halla la resta 6 – 7 a un niño de 6 años, el niño responde: no se puede, porque 6 es menor que 7 y no le puedo quitar 7 a 6. El niño está construyendo el número natural y en su elaboración es imposible restar un número mayor a otro menor. No obstante este mismo ejercicio desde la matemática tiene solución, pues con el uso de los enteros negativos se concluye que 6 – 7=-1.
FALTA DE HERRAMIENTAS: Problemas como halla la distancia que hay desde el salón hasta la Luna pueden ser resueltos si se tienen a mano herramientas que permiten abocar la situación, en caso contrario por su dificultad se convierten en problemas que no son resolubles. Este tipo de situaciones tampoco las contemplamos, de acuerdo a las intenciones de que en la búsqueda de la resolución se puedan argumentar características propias de la matemática.
En este momento lo que hemos construido sobre lo que es un problema irresoluble está ligado con Situaciones en contexto matemático, que inicialmente por su enunciado parecen tener respuesta, pero que por su planteamiento no son posibles de solucionar.
Cambiar el formato de la clase de matemáticas.
Por la concepción de clase de matemáticas que se ha construido usualmente, los estudiantes están acostumbrados a que los problemas propuestos, puedan ser resueltos, de hecho los textos plantean ejercicios y hojas de respuestas, que muestran como única posibilidad el que todos los enunciados tienen solución. Esta es una consecuencia de concebir la clase como un cúmulo de procedimientos y algoritmos que se aplican a problemas tipo. Es tanta la obediencia que se ha generado en que cuando aparezcan situaciones sin solución, hay desconfianza y se arguyen hechos como: Se equivoco el profesor, los datos están mal escritos.
Al plantear en el aula problemas que no tienen solución, los estudiantes van a construir una mirada más amplia de lo que es la matemática y de lo que es un problema, no solamente asumir que se puede resolver y emprender el camino, sino considerar las variables que se proponen para determinar la resolución y la validación, además argumentar para sustentar la irresolubilidad en dado caso.
Históricamente que[4]
La historia nos muestra que los problemas irresolubles han sido desencadenantes en la evolución del conocimiento matemático, pues el origen de la matemática se ha dado por las búsquedas para resolver problemas. Tal es el caso de los griegos y sus tres problemas clásicos (S. V a.C. aprox): La cuadratura del círculo, La duplicación del cubo y La trisección del ángulo.
“Estos tres problemas, la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo han sido conocidos desde entonces como <
Compartimos pues, valorar la importancia de los esfuerzos que acompañan los intentos por construir soluciones a problemas que surgen desde la disciplina matemática o a partir de situaciones concretas, concluyendo muchas veces, como en este caso particular, con la demostración de la imposibilidad de solución, pero a la vez dejando un legado mucho más importante que la misma solución y es la generación de teoría matemática en cuanto se amplían los límites del conocimiento.
Otro ejemplo muy famoso que ilustra la idea, es el relacionado con el último teorema de Fermat. Veamos: “El servicio más grande prestado a las matemáticas por el último teorema de Fermat ha sido, sin duda, su instigación a la teoría algebraica de números, creada por Ernst Eduard Kumme en sus intentos por probarlo. Ésta es hoy en día una rama muy activa de las matemáticas la cual tiene importantes repercusiones en toda nuestra ciencia. Esto es más que patente en los sucesos del siglo XX en la teoría, que condujeron a la feliz demostración de Wiles”[6]
Desde 1637 Pierre de Fermat había expresado la imposibilidad de expresar un cubo como la suma de dos cubos o una cuarta potencia como la suma de dos cuartas potencias o en general cualquier potencia mayor de dos como la suma de dos potencias iguales. Como vemos pasaron algo más de trescientos años para que un problema irresoluble tuviera solución, pero que también fue la fuente de conocimiento para otros campos de la matemática, durante mucho tiempo se comprendieron mucho mejor las matemáticas así no se hubiera resuelto el problema.
Otro caso importante de anotar es el problema de los siete puentes de Konigsberg, resuelto por Euler en el año de 1735. Demostrando la imposibilidad de realizar un camino a través de los siete puentes sin que se repitiera el paso por alguno de ellos. Éste hallazgo de hecho es muy importante, pero más importante aún es que éste problema fue el origen de una rama de la Topología llamada teoría de redes. Dicha teoría tiene muchas aplicaciones en la actualidad, tal es el caso de el análisis de las redes de comunicaciones y el diseño de circuitos de ordenadores.
QUE HEMOS VISTO
La concreción de nuestra hipótesis tiene sus inicios a partir de la lectura del artículo El proyecto de la pared invisible, que se está desarrollando en Alemania en el cual nos exponen como a través de situaciones problemáticas irresolubles en la construcción de rompecabezas se realiza una serie de observaciones a nivel psicológico y matemático con estudiantes de grados 3º y 4º de la escuela primaria, y estudiantes de 7º y 8º de la escuela secundaria. Como hemos venido reiterando, nuestras intenciones son distintas, y creemos que en la resolución de problemas irresolubles se construyen aspectos disciplinares de la matemática.
Después de las discusiones y acuerdos (que se han expuesto en el desarrollo de este escrito) hemos planteado de manera tímida en nuestras clases situaciones irresolubles, la experiencia nos ha mostrado que cuando se plantea un problema sin solución, los estudiantes al hacer explicitas las razones por las cuales no existe, manifiestan argumentos que permiten identificar características propias de la matemática. Se refieren a condiciones necesarias para que pueda ser resuelta la situación, o argumentan las posibilidades de resolución y por qué el planteamiento no permite que pueda ser resuelto.
Volvamos a los ejemplos iniciales: La suma de tres números consecutivos es igual a 121. Halla los números
Los estudiantes inician buscando tales números, algunos argumentan:
· Es imposible, la suma de tres números consecutivos da como resultado un múltiplo de 3, 121 no es múltiplo de 3 por lo cual no hay solución.
La justificación desde la matemática: Los números son consecutivos solo cuando son naturales, luego estoy buscando tres números de la forma n, n+1 y n+2 que sumados den como resultado 121. Resolviendo la ecuación,
n+(n+1)+(n+2)= 121
3n +3 = 121
3n = 121 – 3
n = 118/3
n = 39, 3333
Como n, no es natural el problema no tiene solución.
Este argumento nos muestra la claridad conceptual sobre lo que es un número natural y en consecuencia, la claridad argumentativa que manifiesta la imposibilidad de resolución, el problema es analizado desde el inicio arguyendo la característica de la suma de tres números naturales consecutivos (múltiplo de 3) es un conocimiento construido que se pone a prueba a través de la resolución de la ecuación, y que le permite afirmar desde elementos matemáticos, lo irresoluble de la situación.
· Si fuera 120, serían 39, 40 y 41. No se, si dividimos 121 entre 3, da 40,333, le quito uno y da 39,333, le sumo uno y es 41,33. Esos tres números sumados dan 121. pero no sabemos si son consecutivos.
Es claro que se encuentra una solución, pero los estudiantes dudan respecto a lo que significa ser número consecutivo (propiedad que solo aparece en sistemas discretos de numeración como los números naturales). Su inquietud es compartida y surgen inquietudes como:
¿1,1 , 1,2 y 1,3 serán consecutivos? Y argumentos como no porque yo puedo encontrar después de 1 a 1,01. Tal tipo de discusión inquieta a los estudiantes quienes empiezan a caracterizar lo que significa ser consecutivo y más aún los lleva a ver la densidad numérica (propiedad de los números reales).
Como vemos, en uno y otro caso se hace necesario explicitar desde argumentos propios de la disciplina matemática las razones que justifican lo irresoluble. En la primera intervención hay claridad y se argumenta con la ecuación; en la segunda se halla una solución y el problema se enriquece al momento de cuestionar la propiedad ser consecutivo, que lleva a reflexiones sobre la densidad numérica.
Estas pruebas parciales nos ratifican aún más nuestra hipótesis.
QUE PRETENDEMOS HACER
Iniciamos un camino, en el que nos acompañan estudiantes de la Licenciatura en educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital, quienes hacen una pasantía de investigación como trabajo de grado, y participan como observadores participantes y no participantes de esta propuesta de investigación.
Como se mencionó anteriormente, hemos ido concibiendo la hipótesis, realizando discusiones teóricas que afianzan nuestra búsqueda y paralelamente hemos diseñado y planteado situaciones de clase, que nos permiten ratificar la idea. En el proceso hicimos una prueba piloto con estudiantes de los grados 5º a 10º, ella se presentan de manera escrita tres situaciones distintas:
· La primera asociada a figuras que pueden ser realizadas por un solo trazo y sin repetir líneas. En este caso se presentaron grafos posibles y no posibles. La intención es identificar el argumento que defina la viabilidad de construcción.
· El segundo problema consiste en la construcción de un triángulo cuyas medidas de los lados son 4 cm., 3 cm. y 9 cm.
· El tercer problema fue: En un campeonato se jugaron 25 partidos de voleibol. Si los equipos participantes jugaron un partido entre sí, y por cada colegio había un equipo. ¿Cuántos colegios participaron?
Como vemos, el primer problema tiene opciones posibles y no posibles. La intención es identificar los argumentos, en algunos casos se proponen paralelos entre las diferentes figuras. Por su parte los problemas dos y tres no pueden ser resueltos.
Esta actividad permitió vislumbrar otras posibilidades de investigación:
· ACTITUDINAL: Sobre la manera en que los estudiantes asumen el problema, el trabajo en grupo.
· LA INFLUENCIA DE LA ESCOLARIDAD: Qué similitudes y diferencias pueden tener las resoluciones y argumentaciones de los estudiantes de acuerdo al nivel escolar y a la edad.
Sobre nuestro principal propósito, la construcción disciplinaria, encontramos muchos elementos que permiten ratificar nuestra hipótesis. Veamos algunos:
En el segundo problema:
Construye un triángulo cuyos lados midan 3cm., 4 cm., y 9 cm.
Vimos que gran parte de los estudiantes iniciaban la construcción y rápidamente se daban cuenta de la imposibilidad de construcción. Fueron usuales afirmaciones como:
- No se puede, los lados de 3 cm. y 4 cm. no alcanzan los 9 cm., luego es imposible hacer el triángulo.
Este es un primer nivel que surge de la experiencia, y lleva a la descripción de lo que imposibilita la construcción, se quedan en este solo caso.
- Es imposible, puesto que para poder construir el triángulo la suma de 4 y 3 debe ser mayor que 9, pues cuando se unen los lados cortos, no logran medir el lado largo y para levantar el triángulo esta suma debe ser mayor que 9 .
En este caso se explica la relación de los lados a partir también de la experiencia, sustentada esta vez en la necesidad de la desigualdad.
- No es posible, dado que para construir un triángulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que el lado restante. Es decir para un triángulo de lados a, b y c. debe cumplirse que: a+b> c, a+c>b, b+c>a.
En este caso ya se alude a una propiedad matemática, la desigualdad triangular y se enuncia teniendo en cuenta no solo el caso particular, sino una condición que cumplen las medidas de los triángulos.
REFERENTES BIBLIOGRAFICOS
ARISMENDI I, SANTOS T. L. M. Hacia una redefinición de la cultura matemática en el salón de clases: Argumentando la inexistencia de Soluciones. 2004. Santillana
BOYER CARL B. Alianza Universidad Textos. 1996. pgs 97, 98.
PRIETO CARLOS. “Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas”. 2005. Fondo de Cultura Económico. Pg 61
SEGURA D., Y ROMERO, J., 1992 Las Matemáticas en el aula: Posibilidades de construcción significativa. En la Revista Planteamientos en Educación Nº 3. Escuela Pedagógica Experimental; Bogotá. Págs. 6 -24
STEEN ARTHUR y otros. La enseñanza agradable de las matemáticas. 2001. Linusa Editores
IDEP, PROYECTO: Innovación e investigación de las Matemáticas en el Aula. Haciendo Matemáticas en el aula. Grupo de Matemáticas EPE. 2005. Alcaldía Mayor de Bogotá.
[1] El modelaje matemático en estudiantes de educación básica. La validación de los modelos y los procesos de matematización de la experiencia. Estudio a partir de dos familias de problemas, financiado por el Instituto de Investigación Educativa y el desarrollo pedagógico IDEP
[2] Haciendo matemáticas en el aula, capítulo primero del libro Proyecto Innovación e Investigación de las Matemáticas en el aula.
[3] Museolúdica No Vol. Museo de la Ciencia y el Juego, U.Nal.
[4] Este aparte se retoma del anteproyecto de investigación de la CEPE relacionado al mismo problema, elaborado por el profesor German Rayo.
[5] Boyer, Carl B. Alianza Universidad Textos. 1996. pgs 97, 98.
[6] PRIETO CARLOS. “Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas”. 2005. Fondo de Cultura Económico. Pg 61
DOCUMENTO PARA BAJAR http://docs.google.com/#folders/folder.0.5b4f13b8-9200-4adc-9d48-19445182a3a6
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